Λύση. Η απάντηση είναι όχι. Εφόσον το αμυδρό P3(R)=4, κανένα σύνολο τριών πολυωνύμων δεν μπορεί να δημιουργήσει όλο το P3(R).
Κάπτονται τα πολυώνυμα P3;
Ναι! Το σύνολο εκτείνεται στο διάστημα εάν και μόνο εάν είναι δυνατό να λυθεί για,,, και ως προς οποιουσδήποτε αριθμούς, a, b, c και d. Φυσικά, η επίλυση αυτού του συστήματος εξισώσεων θα μπορούσε να γίνει με βάση τον πίνακα των συντελεστών που επιστρέφει αμέσως στη μέθοδό σας!
Τι είναι το πολυώνυμο P3;
Ένα πολυώνυμο στο P3 έχει την μορφή ax2 + bx + c για ορισμένες σταθερές a, b και c. Ένα τέτοιο πολυώνυμο ανήκει στον υποχώρο S εάν a02 + b0 + c=a12 + b1 + c, ή c=a + b + c, ή0=a + b, ή b=−a. Έτσι τα πολυώνυμα στον υποχώρο S έχουν τη μορφή a(x2 −x)+c.
Μπορούν 3 διανύσματα να εκτείνονται στο P3;
(δ) (1, 0, 2), (0, 1, 0), (−1, 3, 0) και (1, −4, 1). Ναί. Τρία από αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επομένως εκτείνονται σε R3. … Αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και εκτείνονται στο P3.
Ποια είναι η τυπική βάση του P3 R;
2. (20) S 1, t, t2 είναι η τυπική βάση του P3, του διανυσματικού χώρου πολυωνύμων βαθμού 2 ή μικρότερου.
