Γενικά, για οποιονδήποτε πίνακα, τα ιδιοδιανύσματα ΔΕΝ είναι πάντα ορθογώνια. Αλλά για έναν ειδικό τύπο πίνακα, τον συμμετρικό πίνακα, οι ιδιοτιμές είναι πάντα πραγματικές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι πάντα ορθογώνια.
Είναι τα ιδιοδιανύσματα των ιδιοτιμών πάντα ορθογώνια;
Όχι απαραίτητα όλα ορθογώνια. Ωστόσο, δύο ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. π.χ. Έστω X1 και X2 δύο ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα A που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ1 και λ2 όπου λ1≠λ2.
Όλοι οι συμμετρικοί πίνακες έχουν ορθογώνια ιδιοδιανύσματα;
Αν όλες οι ιδιοτιμές ενός συμμετρικού πίνακα A είναι διακριτές, ο πίνακας X, ο οποίος έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, έχει την ιδιότητα ότι X X=I, δηλ. Το X είναι ένας ορθογώνιος πίνακας.
Μπορεί ένας μη συμμετρικός πίνακας να έχει ορθογώνια ιδιοδιανύσματα;
Σε αντίθεση με το συμμετρικό πρόβλημα, οι ιδιοτιμές a του μη συμμετρικού πίνακα δεν σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύστημα. … Επιτέλους, η τρίτη διάκριση είναι ότι οι ιδιοτιμές ενός μη συμμετρικού πίνακα θα μπορούσαν να είναι σύνθετες (όπως και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους).
Είναι τα ιδιοδιανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα;
Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διακριτές ιδιοτιμές είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Κατά συνέπεια, εάν όλες οι ιδιοτιμές ενός πίνακα είναι διακριτές, τότε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους καλύπτουν το χώρο των διανυσμάτων στηλών στα οποίαοι στήλες του πίνακα ανήκουν.
