Κάθε υποομάδα μιας ομάδας αβελιανών είναι κανονική, επομένως κάθε υποομάδα δημιουργεί μια ομάδα πηλίκου. Οι υποομάδες, τα πηλίκα και τα άμεσα αθροίσματα των αβελιανών ομάδων είναι και πάλι αβελικά. Οι πεπερασμένες απλές αβελιανές ομάδες είναι ακριβώς οι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης.
Γιατί κάθε υποομάδα μιας ομάδας Abelian είναι φυσιολογική;
(1) Κάθε υποομάδα μιας ομάδας Abelian είναι κανονική αφού ah=ha για όλα τα a ∈ G και για όλα τα h ∈ H. (2) Το κέντρο Z(G) μιας ομάδας είναι πάντα κανονικό αφού ah=ha για όλα τα a ∈ G και για όλα τα h ∈ Z(G).
Είναι κάθε υποομάδα μιας ομάδας Abelian κυκλική;
Όλες οι κυκλικές ομάδες είναι Abelian, αλλά μια ομάδα Abelian δεν είναι απαραίτητα κυκλική. … Όλες οι υποομάδες μιας ομάδας Abelian είναι φυσιολογικές. Σε μια ομάδα Abelian, κάθε στοιχείο βρίσκεται σε μια κλάση συζυγίας από μόνο του και ο πίνακας χαρακτήρων περιλαμβάνει δυνάμεις ενός μεμονωμένου στοιχείου που είναι γνωστό ως γεννήτρια ομάδας.
Είναι η κανονική υποομάδα Abelian ομάδα;
Αποδείξτε ότι οποιαδήποτε υποομάδα μιας ομάδας Abelian είναι κανονική υποομάδα. Απάντηση: Ανάκληση: Μια υποομάδα H μιας ομάδας G ονομάζεται κανονική αν gH=Hg για κάθε g ∈ G. … gh=hg για όλα τα h αφού το G είναι Αβελιανό. Επομένως {gh | h ∈ H}={hg | h ∈ H}=Hg εξ ορισμού του δεξιού συνόλου Hg.
Είναι κάθε υποομάδα φυσιολογική;
Κάθε ομάδα είναι μια κανονική υποομάδα από μόνη της. Ομοίως, η τετριμμένη ομάδα είναι μια υποομάδα κάθε ομάδας.). Από αυτά, το δεύτερο είναι φυσιολογικό αλλά το πρώτο όχι.
