Έστω P μια Sylow p-υποομάδα του G. … Αν το G είναι απλό, τότε έχει 10 υποομάδες τάξης 3 και 6 υποομάδες τάξης 5. Ωστόσο, δεδομένου ότι αυτές οι ομάδες είναι όλες κυκλικές πρώτης τάξης, οποιοδήποτε μη τετριμμένο στοιχείο του G περιέχεται το πολύ σε μία από αυτές τις ομάδες.
Είναι οι ομάδες P κυκλικές;
Η ασήμαντη ομάδα είναι η μόνη ομάδα της τάξης ενός και η κυκλική ομάδα C p είναι η μόνη ομάδα της τάξης p.
Είναι οι υποομάδες κυκλικές;
Θεώρημα: Όλες οι υποομάδες μιας κυκλικής ομάδας είναι κυκλικές. Αν το G=⟨a⟩ είναι κυκλικό, τότε για κάθε διαιρέτη d του |G| υπάρχει ακριβώς μια υποομάδα της τάξης d που μπορεί να δημιουργηθεί από a|G|/d a | G | / d. Απόδειξη: Έστω |G|=dn | G |=d n.
Είναι φυσιολογικές οι υποομάδες P Sylow;
Αν το G έχει ακριβώς μία π-υποομάδα Sylow, πρέπει να είναι κανονική από τη Μοναδική Υποομάδα μιας δεδομένης παραγγελίας είναι Κανονική. Ας υποθέσουμε ότι μια Sylow p-υποομάδα P είναι κανονική. Τότε ισοδυναμεί με τα συζυγή του. Έτσι, από το Τρίτο Θεώρημα Sylow, μπορεί να υπάρχει μόνο μία τέτοια π-υποομάδα Sylow.
Είναι οι υποομάδες sylow P Abelian;
Αποδεικνύουμε ότι οι p-υποομάδες Sylow μιας πεπερασμένης ομάδας G είναι abelian αν και μόνο εάν τα μεγέθη κλάσεων των p-στοιχείων του G είναι όλα συμπρώτες με το p, και, εάν p ∈ { 3, 5 }, ο βαθμός κάθε μη αναγώγιμου χαρακτήρα στο κύριο p-μπλοκ του G είναι συμπρωτικός στο p.
