Σημείωση: είναι αλήθεια ότι κάθε οριοθετημένη ακολουθία περιέχει μια συγκλίνουσα υποακολουθία, και επιπλέον, κάθε μονοτονική ακολουθία συγκλίνει εάν και μόνο αν είναι οριοθετημένη. Προστέθηκε Δείτε την καταχώριση στο Θεώρημα Μονοτονικής Σύγκλισης για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την εγγυημένη σύγκλιση οριοθετημένων μονοτονικών ακολουθιών.
Συγκλίνει κάθε οριοθετημένη ακολουθία στο R;
Το θεώρημα δηλώνει ότι κάθε οριοθετημένη ακολουθία στο R
Το
Είναι κάθε οριοθετημένη ακολουθία πραγματικών αριθμών συγκλίνουσα;
Απάντηση και εξήγηση: (α) Είναι κάθε οριοθετημένη ακολουθία συγκλίνουσα; Όχι.
Συγκλίνει κάθε οριοθετημένη μονοτονική ακολουθία;
Όχι όλες οι οριοθετημένες ακολουθίες, όπως (−1)n, converge, αλλά αν γνωρίζαμε ότι η οριοθετημένη ακολουθία ήταν μονότονη, τότε αυτό θα άλλαζε. αν ένα ≥ an+1 για όλα τα n ∈ N. Μια ακολουθία είναι μονότονη εάν είτε είναι αύξουσα είτε φθίνουσα. και οριοθετείται, μετά συγκλίνει.
Όλες οι οριοθετημένες ακολουθίες έχουν συγκλίνουσα υποακολουθία;
Το θεώρημα Bolzano-Weierstrass: Κάθε οριοθετημένη ακολουθία στο Rn έχει μια συγκλίνουσα υποακολουθία. του {xmk } είναι μια οριοθετημένη ακολουθία πραγματικών αριθμών, άρα έχει και μια συγκλίνουσα υποακολουθία, … Αντίθετα, κάθε οριοθετημένη ακολουθία βρίσκεται σε μιακλειστό και οριοθετημένο σύνολο, επομένως έχει μια συγκλίνουσα υποακολουθία.
