Ένα μεμονωμένο σημείο είναι κλειστό (δεν υπάρχουν όρια περιορισμού). Μια πεπερασμένη ένωση κλειστών συνόλων είναι κλειστή. Ως εκ τούτου, κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι κλειστό. (vi) Ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει κάθε ρητό αριθμό πρέπει απαραίτητα να είναι όλο το R.
Μπορούν τα κλειστά σετ να έχουν μεμονωμένα σημεία;
Μπορεί ένα κλειστό σετ να έχει; Ένα ανοιχτό σύνολο U δεν μπορεί να έχει απομονωμένο σημείο γιατί αν x ∈ U και δ > 0 τότε (x − δ, x + δ) περιέχει ένα διάστημα και επομένως περιέχει άπειρα πολλά σημεία του U. Από την άλλη πλευρά, για Το any x, {x} είναι ένα κλειστό σύνολο που έχει ένα απομονωμένο σημείο, δηλαδή το ίδιο το x.
Έχουν κλείσει μεμονωμένα σημεία;
Και σε οποιοδήποτε μετρικό διάστημα, το σύνολο που αποτελείται από ένα μόνο σημείο είναι κλειστό, αφού δεν υπάρχουν όρια για ένα τέτοιο σύνολο!
Είναι μεμονωμένα σημεία ορίου;
Ένα σημείο p είναι ένα οριακό σημείο του S εάν κάθε γειτονιά του p περιέχει ένα σημείο q ∈ S, όπου q=p. Αν το p ∈ S δεν είναι οριακό σημείο του S, τότε ονομάζεταιαπομονωμένο σημείο του S. Το S είναι κλειστό εάν κάθε οριακό σημείο του S είναι ένα σημείο του S.
Είναι το απομονωμένο σημείο συνεχές;
Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε απομονωμένο σημείο.
