Το πρώτο θεώρημα που αποδεικνύει ο Pugh μόλις ορίσει το Ολοκλήρωμα Riemann είναι ότι η ολοκληρωσιμότητα συνεπάγεται περιορισμό. Αυτό είναι το Θεώρημα 15 στη σελίδα 155 στην έκδοσή μου. Αυτό δείχνει ότι πρέπει πρώτα να συμφωνήσουμε στους ορισμούς.
Το ενσωματώσιμο Riemann υποδηλώνει περιορισμένο;
Θεώρημα 4. Κάθε ολοκληρωμένη συνάρτηση Riemann οριοθετείται.
Μπορούν να ενσωματωθούν οι μη περιορισμένες συναρτήσεις;
Μια απεριόριστη συνάρτηση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί Riemann. Στη συνέχεια, το "integral" θα σημαίνει "Riemann integrable" και "integral" θα σημαίνει "Riemann integral" εκτός εάν αναφέρεται ρητά διαφορετικά. f(x)={ 1/x εάν 0 < x ≤ 1, 0 εάν x=0. επομένως τα ανώτερα αθροίσματα Riemann της f δεν είναι καλά καθορισμένα.
Είναι μια ολοκληρωμένη συνάρτηση Lebesgue περιορισμένη;
Οι μετρήσιμες συναρτήσεις που οριοθετούνται είναι ισοδύναμες με τις ενσωματώσιμες συναρτήσεις Lebesgue. Αν η f είναι μια οριοθετημένη συνάρτηση που ορίζεται σε ένα μετρήσιμο σύνολο Ε με πεπερασμένο μέτρο. Τότε η f είναι μετρήσιμη αν και μόνο αν η f είναι ολοκληρωτή Lebesgue. … Από την άλλη πλευρά, οι μετρήσιμες συναρτήσεις είναι «σχεδόν» συνεχείς.
Πώς ξέρετε εάν μια συνάρτηση είναι ενσωματώσιμη στο Lebesgue;
Αν τα f, g είναι συναρτήσεις τέτοιες ώστε f=g σχεδόν παντού, τότε η f είναι ολοκληρωμένη Lebesgue αν και μόνο αν g είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη, και τα ολοκληρώματα των f και g είναι το ίδιο αν υπάρχουν.
