Στα μαθηματικά, μια αβελιανή ομάδα, που ονομάζεται επίσης αντιθετική ομάδα, είναι μια ομάδα στην οποία το αποτέλεσμα της εφαρμογής της λειτουργίας ομάδας σε δύο στοιχεία ομάδας δεν εξαρτάται από τη σειρά στο οποίο είναι γραμμένα.
Τι είναι η ομάδα αβελιανών και μη αβελιανών;
Ορισμός 0.3: Αβελιανή ομάδα Εάν μια ομάδα έχει την ιδιότητα ab=ba για κάθε ζεύγος στοιχείων a και b, λέμε ότι η ομάδα είναι Abelian. Μια ομάδα δεν είναι αβελιανή εάν υπάρχει κάποιο ζεύγος στοιχείων a και b για τα οποία ab=ba.
Πώς αναγνωρίζετε μια ομάδα αβελιανών;
Τρόποι για να δείξεις μια ομάδα είναι αβελιανή
- Εμφάνιση του εναλλάκτη [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 δύο αυθαίρετων στοιχείων x, y∈G x, y ∈ G πρέπει να είναι η ταυτότητα.
- Εμφάνιση της ομάδας είναι ισόμορφη σε ένα άμεσο γινόμενο δύο αβελιανών (υπο)ομάδων.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της ομάδας και της ομάδας abelian;
Μια ομάδα είναι μια κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο και όλους τους μορφισμούς αντιστρέψιμους; μια αβελιανή ομάδα είναι μια μονοειδής κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο και όλους τους μορφισμούς αντιστρέψιμους.
Ποια ομάδα είναι πάντα αβελιανή;
Ναι, όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές. Ακολουθεί μια λίγη περισσότερη λεπτομέρεια που σας βοηθά να καταστεί σαφές το "γιατί" όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελικές (δηλαδή αντικαταστατικές). Έστω G μια κυκλική ομάδα και g μια γεννήτρια του G.
